martes, 24 de mayo de 2016

Geometría en el Plano.

Plano (geometría):

      En geometría, un plano es un objeto ideal que solo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; es un concepto fundamental de la geometría junto con el punto y la recta.
     Son las que situadas en un plano se cortan en un punto.
Las rectas A y B de la siguiente figura se cortan en el punto C. Estas rectas se dice también que son concurrentes o convergentes que significa que tienden a unirse o que la distancia entre ellas se va haciendo menor hasta cortarse en un punto
geometria

Propiedades del plano ℝ3


   Dos planos o son paralelos o se intersecan en una línea.En un espacio euclidiano tridimensional ℝ3, podemos hallar los siguientes hechos, (los cuales no son necesariamente válidos para dimensiones mayores).

  • Una línea es paralela a un plano o interseca al mismo en un punto o es contenida por el plano mismo.
  • Dos líneas perpendiculares a un mismo plano son necesariamente paralelas entre sí.
  • Dos planos perpendiculares a una misma línea son necesariamente paralelos entre sí.
  • Entre un plano Π cualquiera y una línea no perpendicular al mismo existe solo un plano tal que contiene a la línea y es perpendicular al plano Π.
  • Entre un plano Π cualquiera y una línea perpendicular al mismo existe un número infinito de planos tal que contienen a la línea y son perpendiculares al plano Π


LÍNEAS CONVERGENTES
Son las que saliendo de dos puntos del mismo plano, a medida que avanzan se juntan en un punto dado:
geometria
Como ves, las rectas han salido de los puntos y B y si se prolongan, se juntarán en C.
LÍNEAS DIVERGENTES
Son las que saliendo del mismo punto, a medida que avanzan se van separando una de otra:
geometria

Divergir o separarse es lo contrario de convergir.
15.19 ¿Dos rectas convergentes pueden llegar a cortarse?
Respuesta: Sí, siempre que se las alarguen convenientemente.
15.20 Dos o más rectas secantes ¿podemos decir que son convergentes?
Respuesta: Sí, porque las rectas secantes se cortan y por ello han convergir, dirigirse a un punto.
RECTAS QUE SE CRUZAN
Las rectas que se cruzan están en distintos planos y por lo que no tienen ningún punto en común. Nunca se encuentran.
geometria
   Las rectas que tienes a la izquierda en color azul están situadas en planos diferentes y comprobarás que no tienen, por mucho que se prolonguen, ningún punto en común





Ecuación del plano

Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos: un punto y dos vectores:
Punto P = (x1, y1, z1)
Vector u = (ux, uy, uz)
Vector v = (a2, b2, c2)

(x,y,z)= (x_1, y_1 ,z_1)+ m(u_x, u_y ,u_z) +n(a_2, b_2 ,c_2) \,\!


Ejercicios:
1) Halla el ángulo que forman las rectas:
r \equiv
\left\{
\begin{array}{ll}
x = 3-2t \\
y  = 7+t
\end{array}
\right.  
s \equiv
\left\{
\begin{array}{ll}
x = 1-4t \\
y  = 4+3t
\end{array}
\right.

SOLUCIÓN:

El ángulo entre dos rectas es el determinado por sus vectores directores.
Los vectores directores son \vec{u_r}=(-2,1) y \vec{v_s}=(-4,3)
Si llamamos \alpha al ángulo que forman y usamos la definición de producto escalar: 
\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot cos(\alpha) , podemos despejar el coseno:
cos(\alpha) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{ |\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}=
\frac{(-2)\cdot (-4)+1 \cdot 3}{\sqrt{(-2)^2+1^1} \cdot \sqrt{(-4)^2+3^2}}=
\frac{11}{\sqrt{5} \cdot 5}
Por tanto, \alpha = arc \: cos \left(\frac{11}{\sqrt{5} \cdot 5 \right)
\alpha \cong 10.3 grados
   2) Halla el área del triángulo determinado por los puntos A(0,0) , B(5,2) y C(1,6)

SOLUCIÓN:

El área de un triángulo viene determinada por la fórmula A = \frac{base \cdot altura}{2}
Como base tomaremos el segmento \overline{AB} y como altura tomaremos la distancia del punto C a la recta que pasa por A y B
Calculamos la base = |\vec{AB}| = \sqrt{(5-0)^2+(2-0)^2} = \sqrt{29}
Ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B
Punto: A(0,0)
Vector: \vec{AB} = (5,2)
Ecuación continua: \frac{x-0}{5}=\frac{y-0}{2}
Pasamos a ec. general: 2x-5y=0
Aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a una recta:
d(C,r_{AB}) = \frac{|2 \cdot 1 - 5 \cdot 6|}{\sqrt{2^2+5^2}} = \frac{28}{\sqrt{29}}
Finalmente calculamos el área:
A = \frac{\sqrt{29} \cdot \frac{28}{\sqrt{29}}}{2} = \frac{28}{2} = 14
El área es de 14 unidades cuadradas (14u^2)
3)  Dada la ecuación continua de una recta:
\frac{x-2}{3} = \frac{y+1}{4} se pide:
- dos puntos de la recta
- dos vectores directores
- representación gráfica

SOLUCIÓN

La propia ecuación continua ya nos aporta el punto A(2,-1)
Para obtener más puntos de la recta, basta con darle valores a x e ir calculando y (o al revés).
Para x=0 tenemos \frac{0-2}{3} = \frac{y+1}{4}
(-2) \cdot 4 = 3 (y+1)
-8 = 3y + 3
y = -11/3
Por tanto un segundo punto sería B(0,-11/3)
Un vector director de la recta sería el que nos aporta los denominadores de la propia ecuación continua \vec{v}=(4,3). Cualquier vector proporcional al anterior valdría como vector directo de la recta, por ejemplo \vec{u}=(8,6)
Para dibujar la recta, bastaría con dibujar los dos puntos que conocemos de la misma y a continuación trazar la recta.